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核心提示：從計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)到大型強(qiáng)子對撞機(jī)中的粒子相互作用，圖可以用來模擬任何東西。圖之所以無處不在，是因為它們具有離散性和組合性，這
從計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)到大型強(qiáng)子對撞機(jī)中的粒子相互作用，圖可以用來模擬任何東西。圖之所以無處不在，是因為它們具有離散性和組合性，這使得它們能夠表達(dá)抽象關(guān)系，同時又易于計算。它們受歡迎的原因之一是圖抽象出幾何圖形，即節(jié)點在空間中的位置或邊緣是如何彎曲的，只留下節(jié)點如何連接的表示。
圖論起源于萊昂哈德 · 歐拉（Leonhard Euler）在1741年的著作《geometria situs》中的觀察，他指出著名的柯尼斯堡七橋問題問題沒有解決方案。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
圖注：七橋問題要求在哥尼斯堡市內(nèi)找到一條循環(huán)行走的路線，不需要多次過橋。正如歐拉所說，哥尼斯堡市的確切形狀并不重要，重要的是不同的土地（圖的節(jié)點）是如何相互連接的（邊）。歐拉表明，當(dāng)且僅當(dāng)所有節(jié)點具有偶數(shù)度時，這樣的循環(huán)才存在。另外，最初的橋梁中只有五座存活到現(xiàn)代。
有趣的是，歐拉的發(fā)現(xiàn)不僅標(biāo)志著圖論的開始，而且也常常被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)誕生的標(biāo)志。與圖一樣，拓?fù)鋵W(xué)家對空間的那些與其特定形狀或幾何形狀無關(guān)的屬性感興趣。
這些思想的現(xiàn)代表現(xiàn)形式出現(xiàn)在1895年的“分析地點” （Analysis situs），這是 Henri Poincaré 的一篇開創(chuàng)性的論文，他的工作點燃了對流形的組合描述的興趣，從這些流形中可以更容易地找到和計算拓?fù)洳蛔兞俊?br />
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
這些組合描述今天被稱為細(xì)胞復(fù)合體 ，可以被認(rèn)為是圖的高維概括。
與由節(jié)點和邊形成的圖不同，細(xì)胞復(fù)合體也可以包含更高維的結(jié)構(gòu)或“細(xì)胞”：頂點是0-細(xì)胞，邊是1-細(xì)胞，2D 表面是2-細(xì)胞等。為了構(gòu)建一個細(xì)胞復(fù)合體，我們可以通過將一個細(xì)胞的邊界粘合到其他低維細(xì)胞上來進(jìn)行分層。
在特殊情況下，當(dāng)單元格由單形（如邊、三角形、四面體等）構(gòu)成時，這些空間也稱為單形復(fù)合體。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
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機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)科學(xué)中的拓?fù)?br /> 我們認(rèn)為，人們不必等待 400 年才將把拓?fù)鋵W(xué)變成一種實用的工具。
在拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TDA）的保護(hù)傘下，諸如淺層復(fù)合物這樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已經(jīng)被用于機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)科學(xué)，這類方法出現(xiàn)在20世紀(jì)90年代，試圖以一種對度量不敏感和對噪聲穩(wěn)健的方式來分析“數(shù)據(jù)的形狀”。
TDA的根源可以追溯到20世紀(jì)20年代末最多產(chǎn)的拓?fù)鋵W(xué)家之一 Leopold Vietnam oris 的工作。然而，這些技術(shù)必須等到現(xiàn)代計算的誕生才能大規(guī)模應(yīng)用。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
給定一個點云，每個點周圍固定半徑的封閉球之間的交叉點產(chǎn)生一個簡單的復(fù)合體。通過逐步增加球的半徑，我們可以得到一個嵌套的簡單復(fù)合體序列。圖源：Bastian Rieck。
TDA 的主力是持久性同源性（PH），一種從點云中提取拓?fù)涮卣鞯姆椒�。給定一個點的數(shù)據(jù)集，PH 創(chuàng)建一個簡單復(fù)數(shù)的嵌套序列，其中每個復(fù)數(shù)對應(yīng)于分析基礎(chǔ)點云的某個比例。然后，它跟蹤各種拓?fù)涮卣鳎ɡ�，連接的組件、循環(huán)或空洞） ，這些特征隨著比例的逐漸增加而出現(xiàn)和消失，并且人們從序列中的一個復(fù)合物過渡到下一個復(fù)合物。
在深度學(xué)習(xí)時代，持久性同源性有了“第二次生命”，因為它表明人們可以通過它進(jìn)行反向傳播，從而允許將已經(jīng)建立的 TDA 設(shè)備集成到深度學(xué)習(xí)框架中。
最近的一系列工作提出了在幾何深度學(xué)習(xí)中簡化和細(xì)胞復(fù)合體的不同用途，作為一個更豐富的底層拓?fù)淇臻g來支持?jǐn)?shù)據(jù)和對其進(jìn)行的計算。
最早利用這一觀點的幾項工作提出了卷積模型以及在簡化復(fù)合體上操作的隨機(jī)行走方法。如在本文中，卷積模型可以被理解為簡單和細(xì)胞復(fù)合體上信息傳遞的具體實例。
由于計算是由這些空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（即鄰域結(jié)構(gòu)）驅(qū)動的，我們把這套方法稱為拓?fù)湫畔鬟f。在這個框架中，相鄰的單元，可能是不同維度的，正在交換信息，如下圖所示。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
拓?fù)湫畔鬟f示意圖。藍(lán)色箭頭描述了上層相鄰細(xì)胞之間的“水平”信息傳播，即同一高維細(xì)胞的邊界上的細(xì)胞。紅色箭頭描述了“垂直”信息傳播，即細(xì)胞從其邊界的低維細(xì)胞中接收信息。將來自邊界細(xì)胞的信息匯總到一個更粗的表示中，這種計算可以被解釋為一種（可微分的）集合形式。
在 GNN 中超越圖
盡管細(xì)胞復(fù)合體提供了豐富的結(jié)構(gòu)，但我們不能忽視圖是迄今為止機(jī)器學(xué)習(xí)中最常見的拓?fù)鋵ο�，而且很少有�?shù)據(jù)集能超越它們。盡管如此，人們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^轉(zhuǎn)換輸入圖來利用這些有趣的拓?fù)淇臻g。
我們把將圖轉(zhuǎn)換為高維拓?fù)淇臻g稱為“提升”，以類似于范疇理論中的同名概念。它是一種轉(zhuǎn)換，通過遵循某些規(guī)則將高維單元附加到輸入圖上。例如，一個圖可以通過在圖的每個懸崖或周期上附加一個高維單元而被提升為一個單元復(fù)合體。通過這樣做，圖被替換成一個不同的空間，它有更多的結(jié)構(gòu)，可以為GNN提供一個比原始圖更好的計算結(jié)構(gòu)。在下文中，我們將討論這種方法的具體優(yōu)勢。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
通過將二維封閉圓盤的邊界粘合到圖中的誘導(dǎo)循環(huán)上，可以從圖中構(gòu)造出高維的細(xì)胞復(fù)合體。
高階特征和結(jié)構(gòu)
GNN通常采用以節(jié)點為中心的觀點，駐留在邊上的數(shù)據(jù)僅被視為增加頂點間通信的輔助信息。在拓?fù)湫畔鬟f中，所有單元都是一等公民。無論它們的維度如何，它們都被分配了一個特定的表示，這個表示是通過與相鄰的單元交換信息而發(fā)展起來的。這為明確地模擬某些高階結(jié)構(gòu)和它們之間的相互作用提供了一個秘訣。特別是，它提供了一種原則性的方法來演化輸入圖的邊緣（即1個單元）特征，這是一大類 GNN 模型沒有考慮到的問題。
高階交互
圖表根據(jù)定義是二元的（“成對的”），不能表示涉及兩個以上對象的關(guān)系和交互。在對以高階相互作用為特征的復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模時，這可能是一個問題：例如，化學(xué)反應(yīng)中的三種反應(yīng)物可能同時發(fā)生相互作用。在細(xì)胞復(fù)合體中，這種情況可以通過兩個細(xì)胞（即“填充”三角形）連接反應(yīng)物來編碼。因此，模型的計算流程適應(yīng)高階交互的存在。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
圖注：七橋問題要求在哥尼斯堡市內(nèi)找到一條循環(huán)行走的路線，不需要多次過橋。正如歐拉所說，哥尼斯堡市的確切形狀并不重要，重要的是不同的土地（圖的節(jié)點）是如何相互連接的（邊）。歐拉表明，當(dāng)且僅當(dāng)所有節(jié)點具有偶數(shù)度時，這樣的循環(huán)才存在。另外，最初的橋梁中只有五座存活到現(xiàn)代。
有趣的是，歐拉的發(fā)現(xiàn)不僅標(biāo)志著圖論的開始，而且也常常被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)誕生的標(biāo)志。與圖一樣，拓?fù)鋵W(xué)家對空間的那些與其特定形狀或幾何形狀無關(guān)的屬性感興趣。
這些思想的現(xiàn)代表現(xiàn)形式出現(xiàn)在1895年的“分析地點” （Analysis situs），這是 Henri Poincaré 的一篇開創(chuàng)性的論文，他的工作點燃了對流形的組合描述的興趣，從這些流形中可以更容易地找到和計算拓?fù)洳蛔兞俊?br />
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
這些組合描述今天被稱為細(xì)胞復(fù)合體 ，可以被認(rèn)為是圖的高維概括。
與由節(jié)點和邊形成的圖不同，細(xì)胞復(fù)合體也可以包含更高維的結(jié)構(gòu)或“細(xì)胞”：頂點是0-細(xì)胞，邊是1-細(xì)胞，2D 表面是2-細(xì)胞等。為了構(gòu)建一個細(xì)胞復(fù)合體，我們可以通過將一個細(xì)胞的邊界粘合到其他低維細(xì)胞上來進(jìn)行分層。
在特殊情況下，當(dāng)單元格由單形（如邊、三角形、四面體等）構(gòu)成時，這些空間也稱為單形復(fù)合體。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
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機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)科學(xué)中的拓?fù)?br /> 我們認(rèn)為，人們不必等待 400 年才將把拓?fù)鋵W(xué)變成一種實用的工具。
在拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TDA）的保護(hù)傘下，諸如淺層復(fù)合物這樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已經(jīng)被用于機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)科學(xué)，這類方法出現(xiàn)在20世紀(jì)90年代，試圖以一種對度量不敏感和對噪聲穩(wěn)健的方式來分析“數(shù)據(jù)的形狀”。
TDA的根源可以追溯到20世紀(jì)20年代末最多產(chǎn)的拓?fù)鋵W(xué)家之一 Leopold Vietnam oris 的工作。然而，這些技術(shù)必須等到現(xiàn)代計算的誕生才能大規(guī)模應(yīng)用。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
給定一個點云，每個點周圍固定半徑的封閉球之間的交叉點產(chǎn)生一個簡單的復(fù)合體。通過逐步增加球的半徑，我們可以得到一個嵌套的簡單復(fù)合體序列。圖源：Bastian Rieck。
TDA 的主力是持久性同源性（PH），一種從點云中提取拓?fù)涮卣鞯姆椒�。給定一個點的數(shù)據(jù)集，PH 創(chuàng)建一個簡單復(fù)數(shù)的嵌套序列，其中每個復(fù)數(shù)對應(yīng)于分析基礎(chǔ)點云的某個比例。然后，它跟蹤各種拓?fù)涮卣鳎ɡ�，連接的組件、循環(huán)或空洞） ，這些特征隨著比例的逐漸增加而出現(xiàn)和消失，并且人們從序列中的一個復(fù)合物過渡到下一個復(fù)合物。
在深度學(xué)習(xí)時代，持久性同源性有了“第二次生命”，因為它表明人們可以通過它進(jìn)行反向傳播，從而允許將已經(jīng)建立的 TDA 設(shè)備集成到深度學(xué)習(xí)框架中。
最近的一系列工作提出了在幾何深度學(xué)習(xí)中簡化和細(xì)胞復(fù)合體的不同用途，作為一個更豐富的底層拓?fù)淇臻g來支持?jǐn)?shù)據(jù)和對其進(jìn)行的計算。
最早利用這一觀點的幾項工作提出了卷積模型以及在簡化復(fù)合體上操作的隨機(jī)行走方法。如在本文中，卷積模型可以被理解為簡單和細(xì)胞復(fù)合體上信息傳遞的具體實例。
由于計算是由這些空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（即鄰域結(jié)構(gòu)）驅(qū)動的，我們把這套方法稱為拓?fù)湫畔鬟f。在這個框架中，相鄰的單元，可能是不同維度的，正在交換信息，如下圖所示。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
拓?fù)湫畔鬟f示意圖。藍(lán)色箭頭描述了上層相鄰細(xì)胞之間的“水平”信息傳播，即同一高維細(xì)胞的邊界上的細(xì)胞。紅色箭頭描述了“垂直”信息傳播，即細(xì)胞從其邊界的低維細(xì)胞中接收信息。將來自邊界細(xì)胞的信息匯總到一個更粗的表示中，這種計算可以被解釋為一種（可微分的）集合形式。
在 GNN 中超越圖
盡管細(xì)胞復(fù)合體提供了豐富的結(jié)構(gòu)，但我們不能忽視圖是迄今為止機(jī)器學(xué)習(xí)中最常見的拓?fù)鋵ο�，而且很少有�?shù)據(jù)集能超越它們。盡管如此，人們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^轉(zhuǎn)換輸入圖來利用這些有趣的拓?fù)淇臻g。
我們把將圖轉(zhuǎn)換為高維拓?fù)淇臻g稱為“提升”，以類似于范疇理論中的同名概念。它是一種轉(zhuǎn)換，通過遵循某些規(guī)則將高維單元附加到輸入圖上。例如，一個圖可以通過在圖的每個懸崖或周期上附加一個高維單元而被提升為一個單元復(fù)合體。通過這樣做，圖被替換成一個不同的空間，它有更多的結(jié)構(gòu)，可以為GNN提供一個比原始圖更好的計算結(jié)構(gòu)。在下文中，我們將討論這種方法的具體優(yōu)勢。
Michael Bronstein從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)取經(jīng)，提出了一種新的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)構(gòu)！
通過將二維封閉圓盤的邊界粘合到圖中的誘導(dǎo)循環(huán)上，可以從圖中構(gòu)造出高維的細(xì)胞復(fù)合體。
高階特征和結(jié)構(gòu)
GNN通常采用以節(jié)點為中心的觀點，駐留在邊上的數(shù)據(jù)僅被視為增加頂點間通信的輔助信息。在拓?fù)湫畔鬟f中，所有單元都是一等公民。無論它們的維度如何，它們都被分配了一個特定的表示，這個表示是通過與相鄰的單元交換信息而發(fā)展起來的。這為明確地模擬某些高階結(jié)構(gòu)和它們之間的相互作用提供了一個秘訣。特別是，它提供了一種原則性的方法來演化輸入圖的邊緣（即1個單元）特征，這是一大類 GNN 模型沒有考慮到的問題。
高階交互
圖表根據(jù)定義是二元的（“成對的”），不能表示涉及兩個以上對象的關(guān)系和交互。在對以高階相互作用為特征的復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模時，這可能是一個問題：例如，化學(xué)反應(yīng)中的三種反應(yīng)物可能同時發(fā)生相互作用。在細(xì)胞復(fù)合體中，這種情況可以通過兩個細(xì)胞（即“填充”三角形）連接反應(yīng)物來編碼。因此，模型的計算流程適應(yīng)高階交互的存在。
